Introducción
En este artículo, exploraremos a fondo la respuesta de un sistema de control de primer orden, centrándonos en el análisis del tiempo de respuesta. Comenzaremos desglosando el diagrama de bloques del sistema de control en bucle cerrado y derivaremos la función de transferencia correspondiente. Este sistema, caracterizado por una función de transferencia de la forma ( \frac{1}{sT+1} ), se clasifica como un sistema de primer orden debido a la presencia de (s) en el denominador.
Función de Transferencia y Constante de Tiempo
La función de transferencia (C(s)) se expresa como ( \frac{1}{sT+1} ), donde (C(s)) es la transformada de Laplace de la señal de salida (c(t)), (T) es la constante de tiempo y (R(s)) es la transformada de Laplace de la señal de entrada (r(t)). La constante de tiempo (T) desempeña un papel crucial en la dinámica del sistema.
Respuesta al Impulso
Al considerar una señal de impulso unitario (r(t) = \delta(t)), la transformada de Laplace de (R(s)) es (1). Sustituyendo esta información en la ecuación de (C(s)), obtenemos (C(s) = \frac{1}{sT+1}). La respuesta al impulso está representada por (c(t) = \frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}u(t)).
Respuesta al Escalón
Cuando la entrada es una señal de escalón unitario (r(t) = u(t)), la transformada de Laplace de (R(s)) es (\frac{1}{s}). La descomposición en fracciones parciales de (C(s)) revela que la respuesta al escalón es (c(t) = 1 - e^{-\frac{t}{T}}u(t)), con una componente transitoria y otra en estado estable.
Respuesta a la Rampa
Si la entrada es una señal de rampa (r(t) = tu(t)), la transformada de Laplace de (R(s)) es (\frac{1}{s^2}). La respuesta a la rampa se expresa como (c(t) = t - Te^{-\frac{t}{T}}u(t)), mostrando una componente transitoria y otra en estado estable.
Respuesta Parabólica
Cuando la entrada es una señal parabólica (r(t) = \frac{t^2}{2}u(t)), la transformada de Laplace de (R(s)) es (\frac{1}{s^3}). La respuesta parabólica se formula como (c(t) = \frac{t^2}{2} - Tt + T^2 - T^2e^{-\frac{t}{T}}u(t)), con términos transitorios y en estado estable.
Conclusiones y Aplicaciones Prácticas
En resumen, hemos explorado exhaustivamente las respuestas de un sistema de control de primer orden a diferentes entradas. Mientras que la respuesta al impulso y al escalón demuestran estabilidad, la respuesta a la rampa y la parabólica revela comportamientos transitorios que deben considerarse en aplicaciones prácticas.
Este análisis detallado proporciona una comprensión sólida de los sistemas de control de primer orden, sus características y sus respuestas a diversas entradas, lo cual es esencial para diseñar y optimizar sistemas de control en diversas aplicaciones.